\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{xepersian}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\textheight}{4cm}
\settextfont{XB Zar}
\setlatintextfont{DejaVu Sans}
\title{تمرین های مکانیک تحلیلی II}
\author{تاریخ تحویل: 28 فروردین 1391}
\begin{document}
\maketitle
\begin{itemize}
\item[1.]دو دستگاه مختصات $ O $ و $ O^\prime $ با مختصات $x_i$ و $ X_i$ با رابطه زیر به یکدیگر مرتبط هستند
\begin{equation}
X_i=a_i+x_i
\end{equation}
که $ a_i $ مولفه های بردار ثابتی هستند. جسمی حول محوری که از مبدا $ O $ می گذرد می چرخد و گشتاور لختیش
\begin{equation}
J_{jk}=\sum_im_i\left(\delta_{jk}\sum_{\alpha}X_{i\alpha}^2-X_{ij}X_{ik}\right)
\end{equation}
است. همان جسم را حول محوری دیگر که از مبدا $ O^\prime $می گذرد می چرخانیم و گشتاور لختیش
\begin{equation}
I_{jk}=\sum_im_i\left(\delta_{jk}\sum_{\alpha}x_{i\alpha}^2-x_{ij}x_{ik}\right)
\end{equation}
است. نشان دهید گشتاور لختی ها با رابطه زیر به هم مربوطند.
\begin{equation}
I_{jk}=J_{jk}-M\left(\delta_{jk}a^2-a_ja_k\right)
\end{equation}
\item[2.]دو دستگاه مختصات که مبدا یکسان دارند و مولفه هایشان با رابطه زیر به هم مربوطند را در نظر بگیرید.
\begin{equation}
x^\prime=Ax
\end{equation}
و
\begin{equation}
x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right),\qquad
x^\prime=\left(\begin{array}{c}x^\prime_1\\x^\prime_2\\x^\prime_3\end{array}\right)
\end{equation}
و $ A $ ماتریسی $ 3\times 3 $ و متعامد است و حاصل دورانی پیوسته است:
\begin{equation}\label{A}
A^TA=1, \qquad \det A=1.
\end{equation}
الف) نشان دهید بردارهای $ \vec{v} $ و $ \vec{p} $ و $ \vec{L} $ در نمایش ماتریسی خود با رابطه های زیر تبدیل می شوند.
\begin{equation}
v^\prime=Av,\qquad p^\prime=Ap ,\qquad L^\prime=AL
\end{equation}
که در نتیجه تانسور هستند. ب) نشان دهید گشتاور لختی $ I_{jk} $ در شکل ماتریسی خودش به صورت تانسوری تبدیل می شود.
\begin{equation}
I^\prime=AIA^{-1}
\end{equation}
ج) نشان دهید در هر دستگاه مختصاتی که به شکل بالا تبدیل شود داریم
\begin{equation}
\det I^\prime=\det I,\qquad tr I^\prime =tr I
\end{equation}
که $ tr $ رد تانسور است که به شکل
\begin{equation}
tr I=\sum_kI_{kk}
\end{equation}
تعریف می شود. د) برای یافتن محور های اصلی ماتریس گشتاور لختی را قطری می کنیم و ریشه های معادله
\begin{equation}
\det(I-\lambda 1)=0
\end{equation}
را می یابیم. بردارهای چرخش محورهای اصلی در رابطه
\begin{equation}
I\omega=\lambda\omega
\end{equation}
صدق می کنند. اگر سه بردار یکه چرخش محورهای اصلی $ n_1 $ و $ n_2 $ و $ n_3 $ متناظر با سه ریشه معادله دترمینانی $ \lambda_1 $ و $ \lambda_2 $ و $ \lambda_3 $ باشند. نشان دهید چون $ I=I^T $ در نتیجه
\begin{eqnarray}
n_i^Tn_j=\delta_{ij},\qquad \omega_i=|\omega|n_i
\end{eqnarray}
در نتیجه سه بردار محورهای اصلی بر هم عمودند. ه) نشان دهید اگر ماتریس تبدیل مختصات $ A $ را به شکل زیر بسازیم ماتریس گشتاور لختی $ I^\prime $ را قطری می کند.
\begin{equation}
A=\left(\begin{array}{c}n_1^T\\n_2^T\\n_3^T\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}n_{11}&n_{12}&n_{13}\\n_{21}&n_{22}&n_{23}\\n_{31}&n_{32}&n_{33}\end{array}\right)
\end{equation}
ی) نشان دهید این $ A $ در معادله (\ref{A}) صدق میکند.
\end{itemize}



\end{document}
