\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{xepersian}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\voffset}{-3.5cm}
\addtolength{\textheight}{4cm}
\settextfont{XB Zar}
\setlatintextfont{DejaVu Sans}
\title{تمرین های مکانیک تحلیلی II}
\author{تاریخ تحویل: 22 اسفند 1390}
\begin{document}
\maketitle
\begin{itemize}
\item[1.]نیروی جاذبه بین دو ذره از رابطه زیر بدست می آید
\begin{equation*}
\mathbf{f}_{12}=k[(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)-\frac{r}{v_0}(\dot{\mathbf{r}}_2-\dot{\mathbf{r}}_1)]
\end{equation*}
که در اینجا $ k $ عددی ثابت, $ v_0 $ سرعت ثابت و $ r=|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1| $. گشتاور نیروی داخلی سیستم را محاسبه کنید؛ چرا این کمیت صفر نمی شود؟ آیا این سیستم پایسته است؟
\begin{itemize}
\item[حل:]\begin{equation*}
\tau=(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)\times \mathbf{f}_{12}=-\frac{r}{v_0}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)\times (\dot{\mathbf{r}}_2-\dot{\mathbf{r}}_1)
\end{equation*}
چون نیروهای داخلی مرکز گریز نیستند گشتاور این نیروها صفر نمی شود. بله اندازه حرکت خطی در این سیستم پایسته است زیرا قانون سوم نیوتن برقرار است $ \mathbf{f}_{12}=-\mathbf{f}_{21} $
\end{itemize}
\item[2.] یک توپ بیلیارد با سرعت اولیه $ v_0 $ با توپ بیلیارد دیگری (به همان جرم), که در ابتدا ساکن است, برخورد می کند. توپ اولی در امتداد $ \psi=45^0 $  حرکت می کند. در یک برخورد کشسان سرعت توپها پس از برخورد چقدر است؟ توپ دومی در دستگاه آزمایشگاهی از چه زاویه ای خارج می شود؟
\begin{itemize}
\item[حل:]
بقا اندازه حرکت خطی
\begin{equation}\label{pc}
\mathbf{p}_1=\mathbf{p}_1^\prime+\mathbf{p}_2^\prime\Rightarrow \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_1^\prime+\mathbf{v}_2^\prime\Rightarrow \left\{\begin{array}{r}
v_1=v_1^\prime\cos45^0+v_2^\prime\cos\alpha\\0=v_1^\prime\sin45^0+v_2^\prime\sin\alpha
\end{array}\right.
\end{equation}
بقا انرژی
\begin{equation}
\epsilon=1\Rightarrow Q=0\Rightarrow\frac{\mathbf{p}_1^2}{2m_1}=\frac{{\mathbf{p}_1^\prime}^2}{2m_1}+\frac{{\mathbf{p}_2^\prime}^2}{2m_2}\Rightarrow v_2^\prime=\sqrt{v_1^2-{v_1^\prime}^2}
\end{equation}
برای حذف $ \alpha $ و $ v_2^\prime $ به روش زیر عمل می کنیم
\begin{equation}
v_1-v_1^\prime\cos45^0=v_2^\prime\cos\alpha=\sqrt{v_1^2-{v_1^\prime}^2}\sqrt{1-{\left(\frac{v_1^\prime}{v_2^\prime}\right)}^2\sin^245^0}=\sqrt{v_1^2-{v_1^\prime}^2(1+\sin^245^0)}
\end{equation}
که برای ساده سازی دو طرف تساوی را به توان ۲ می رسانیم
\begin{align}
&v_1^2+{v_1^\prime}^2\cos^245^0-2v_1v_1^\prime\cos45^0=v_1^2-{v_1^\prime}^2(1+\sin^245^0)\Rightarrow 2{v_1^\prime}^2=2v_1v_1^\prime\cos45^0\nonumber\\&\quad\Rightarrow v_1^\prime=v_1\cos45^0,\qquad v_2^\prime=\sqrt{v_1^2-{v_1^\prime}^2}=v_1\sin45^0
\end{align}
برای محاسبه زاویه ایی که توپ دوم خارج می شود از معادله (\ref{pc}) استفاده می کنیم
\begin{equation}
\cos\alpha=\frac{v_1-v_1^\prime\cos45^0}{v_1\sin45^0}=\sin45^0
\end{equation}
\end{itemize}
\item[3.]نشان دهید در مختصات آزمایشگاهی
\begin{equation*}
\frac{T_1^\prime}{T_1}=\frac{m_1^2}{{(m_1+m_2)}^2}S^2
\end{equation*}
که در اینجا
\begin{equation*}
S=\cos \phi_1+\frac{\cos(\theta-\phi_1)}{(m_1/m_2)}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item[حل:]
برای بدست آوردن
\begin{equation}
\beta^2:=\frac{T_1^\prime}{T_1}=\frac{{v_1^\prime}^2}{v_1^2}\Rightarrow\beta=\frac{v_1^\prime}{v_1}
\end{equation} دقیقن مانند مسئله قبل عمل می کنیم با این تفاوت که $ m_1\neq m_2 $ است و در نهایت بعد از به توان ۲ رساندن به
\begin{equation}
v_1^2\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)-{v_1^\prime}^2\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)+2\frac{m_1}{m_2}v_1v_1^\prime\cos\phi_1=0
\end{equation}
میرسیم.
\begin{equation}
\Rightarrow\beta^2-2\frac{m_1}{m_1+m_2}\beta\cos\phi_1-\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}=0
\end{equation}
در نتیجه
\begin{align}
&\beta=\frac{m_1}{m_1+m_2}\cos\phi_1\pm \sqrt{\frac{m_1^2}{{(m_1+m_2)}^2}\cos^2\phi_1+\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}}\nonumber\\&\qquad= \frac{m_1}{m_1+m_2}\left(\cos\phi_1\pm\sqrt{\cos^2\phi_1+\frac{m_2^2-m_1^2}{m_1^2}}\right)\nonumber\\&\qquad= \frac{m_1}{m_1+m_2}\left(\cos\phi_1\pm\frac{m_2}{m_1}\sqrt{1-{\left(\frac{m_1}{m_2}\right)}^2\sin^2\phi_1}\right)
\end{align}
برای ساده کردن این معادله از رابطه کتاب استفاده می کنیم
\begin{equation}
\tan\phi_1=\frac{\sin\theta}{\frac{m_1}{m_2}+\cos\theta}\Rightarrow \frac{m_1}{m_2}\sin\phi_1=\sin(\theta-\phi_1).
\end{equation}
پس
\begin{equation}
S=\cos\phi_1\pm\frac{m_2}{m_1}\sqrt{1-{\left(\frac{m_1}{m_2}\right)}^2\sin^2\phi_1}=\cos \phi_1+\frac{\cos(\theta-\phi_1)}{(m_1/m_2)}
\end{equation}
\end{itemize}
\item[4.]ذره ای به جرم $ m $ با زاویه $ \theta $  نسبت به قائم, به دیورا صافی برخورد می کند. ضریب بازگشت $ \epsilon $ است. سرعت و زاویه بازتاب ذره را پس از ترک دیوار پیدا کنید.
\begin{itemize}
\item[حل:]
\begin{equation}\left\{\begin{array}{r}v_x=v\sin\theta\\v_y=v\cos\theta\end{array}\right.,\qquad\left\{\begin{array}{r}v_x^\prime=v^\prime\sin\phi\\v_y^\prime =v^\prime\cos\phi\end{array}\right.
\end{equation}
برخورد در راستای محور $ x $ انجام می شود پس در راستای محور $ y $ اندازه حرکت خطی بقا دارد
\begin{equation}
mv_y^\prime=mv_y\Rightarrow \frac{v}{v^\prime}=\frac{\cos\phi}{\cos\theta},\qquad\epsilon=\frac{v_x^\prime}{v_x}\Rightarrow \tan\phi=\epsilon \tan\theta
\end{equation}
و برای بدست آوردن $ v^\prime $
\begin{equation}
{v^\prime}^2=v^2(\cos^2\theta+\epsilon^2\sin^2\theta)\Rightarrow v^\prime=v\sqrt{\cos^2\theta+\epsilon^2\sin^2\theta}
\end{equation}
\end{itemize}
\item[5.]تمرین ۹.۷ کتاب فاولز
\begin{itemize}
\item[حل:]
انرژی تلف شده به صورت گرما در همه دستگاه ها برابر است پس در دستگاه مرکز جرم مسئله را حل می کنیم(دقت کنید مسئله یک بعدی است)
\begin{align}
&\bar{p_1}+\bar{p_2}=\bar{p_1^\prime}+\bar{p_2^\prime}=0\nonumber\\
&Q=\frac{1}{2\mu}({\bar{p_1}}^2-{\bar{p_1^\prime}}^2)=\frac{m_1^2}{2\mu}({\bar{v_1}}^2-{\bar{v_1^\prime}}^2)
\end{align}
طبق تعریف
\begin{equation}
\epsilon=\frac{|\bar{v_2^\prime}-\bar{v_1^\prime}|}{|\bar{v_2}-\bar{v_1}|}\Rightarrow \bar{v_2^\prime}=\bar{v_1^\prime}\pm\epsilon v, \qquad v=|\bar{v_2}-\bar{v_1}|= |-\frac{m_1}{m_2}\bar{v_1}-\bar{v_1}|=\frac{m_1+m_2}{m_2}\bar{v_1}
\end{equation}
پس
\begin{equation}
m_2\bar{v_1^\prime}\pm m_2\epsilon v+m_1\bar{v_1^\prime}=0\Rightarrow \bar{v_1^\prime}=\frac{\pm m_2}{m_1+m_2}\epsilon v
\end{equation}
و انرژی اتلافی
\begin{equation}
Q=\frac{m_1^2}{2\mu}\left({\left(\frac{m_2v}{m_1+m_2}\right)}^2-{\left(\frac{m_2v\epsilon}{m_1+m_2}\right)}^2\right)=\frac{1}{2}\mu v^2(1-\epsilon^2)
\end{equation}
\end{itemize}
\end{itemize}





\end{document}
